Dnes je slovo „Integral“ počuť dosť často a často na najneočakávanejších miestach, napríklad na výmennom kanáli v televízii alebo v správach. Často počujeme frázu „integrované ukazovatele“, slovo „integrovaný“, „integračný“ a podobne. Celkovo sú úradníci a televízni moderátori vo všeobecnosti veľmi radi pre rôzne šikovné slová, hoci len ťažko chápu ich skutočný význam. A dnes hovoríme o tom, čo je integrál, aké typy integrálu existujú a aké sú ich rozdiely.
Čo je to integrál
Integral je latinské slovo, ktoré k nám prišlo od staroveku a znamená „celé“ alebo „plné“. To znamená, že ak povedali „celé číslo“ o určitom predmete, napríklad nádobe na mlieko, znamenalo to, že bolo plné a bolo v ňom toľko mlieka, ako bolo.
V priebehu času sa toto slovo začalo používať v úplne iných disciplínach - vo filozofii, politike, ekonómii, v algebre a geometrii. Najjednoduchšia interpretácia integrálu je matematika.
Určitý integrál
Integrál je teda súhrnom samostatných častí. Tu je najjednoduchšie príklady jasnejšieho pochopenia podstaty tohto pojmu:
- Subjekt je integrálnym (súčet) molekúl.
- List v bunke je integrálny (súčet) buniek.
- Slnečná sústava je neoddeliteľnou súčasťou súhrnu Slnka a planét.
- Spoločnosť je integrálom ľudí.
- Segment je integrálny (súčet) metrov. Ak ide o malý segment, potom centimetre, milimetre alebo mikroskopické segmenty.
- Plocha povrchu je neoddeliteľnou súčasťou štvorcových metrov, štvorcových centimetrov alebo milimetrov, ako aj mikroskopických plôch.
- Objem je integrál kubických metrov alebo, ako sa tiež nazýva, litrov.
Čo sú to definitívne a neurčité integrály?
Začnime tým istým, pretože jeho význam je ľahšie pochopiteľný..
Oblasť štúdia geometrie. Napríklad, ak chcete prilepiť tapety doma, musíte poznať oblasť stien, aby ste zistili, koľko tapiet by ste si mali kúpiť. Potom jednoducho vynásobíte dĺžku steny výškou a dostanete jej plochu. V tomto prípade je táto oblasť integrálom štvorcových metrov alebo centimetrov, v závislosti od toho, v ktorých jednotkách ste ju merali. Ale povrchy, ktorých plochu potrebujeme počítať, nemajú vždy tvar obdĺžnika, štvorca alebo kruhu. Vo väčšine prípadov sa jedná o zložité obrázky so zvlnenými stranami. Najbežnejším príkladom je plocha postavy pod krivkou, ktorá má rovnicu y = 1 / x. Faktom je, že nie je možné nájsť jeho plochu pomocou zvyčajných vzorcov, pomocou ktorých nájdeme plochu štvorca, kruhu alebo gule. Na tento účel bol vyvinutý určitý integrál..
Podstata metódy spočíva v tom, že našu komplexnú postavu je potrebné rozdeliť na veľmi úzke obdĺžniky, ktoré sú také úzke, že výška oboch susedných je takmer rovnaká. Je zrejmé, že v skutočnosti môže byť hrúbka týchto obdĺžnikov nekonečne redukovaná, preto sa na označenie ich hrúbky používa veľkosť dx. X je súradnica a predpona d je označenie nekonečne redukovaného množstva. Preto, keď píšeme dx - to znamená, že berieme segment pozdĺž osi x, ktorého dĺžka je veľmi malá, je prakticky nulová.
Takže sme sa už dohodli, že plocha ktorejkoľvek postavy je integrálom štvorcových metrov alebo akýchkoľvek iných čísiel s menšími plochami. Potom našou postavou, ktorej oblasť hľadáme, je integrál alebo súčet tých nekonečne tenkých obdĺžnikov, do ktorých sme ich rozdelili. A jeho plocha je súčtom ich plôch. To znamená, že našou celou úlohou je nájsť oblasť každého z týchto obdĺžnikov a potom ich všetky pridať - to je určitý integrál.Teraz hovorme o neurčitom integráli. Aby ste pochopili, čo to je, musíte sa najskôr naučiť derivát. Začnime teda.
Derivácia je uhol sklonu dotyčnice k akémukoľvek grafu v určitom bode na nej. Inými slovami, derivácia je miera naklonenia grafu na danom mieste. Napríklad priama čiara v ktoromkoľvek bode má rovnaký sklon a krivka je odlišná, ale môže sa opakovať. Existujú špeciálne vzorce na výpočet derivátu a proces výpočtu sa nazýva diferenciácia. tj diferenciácia je definícia uhla grafu v danom bode.
Tabuľka základných neurčitých integrálov
A aby sa zistilo opak, aby sa vzorec grafu zistil podľa uhla jeho sklonu, uchýlili sa k integračnej operácii alebo zosumarizovali údaje o všetkých bodoch. Integrácia a diferenciácia sú dva recipročné procesy. Iba tu už nepoužívajú integrál, ktorý bol v prvom odseku (na určenie oblasti), ale druhý - neurčitý, to znamená bez obmedzení..
Predpokladajme, že vieme, že derivácia nejakej funkcie je 5. 5 je uhol grafu k osi x v danom bode. Potom, integráciou derivátu, zistíme, že funkcia tohto derivátu, ktorý sa tiež nazýva antiderivatívum, je y = 5x + c, kde c je akékoľvek číslo. Pre integráciu, ako aj pre diferenciáciu, existujú špeciálne vzorce, ktoré sú uvedené v tabuľkách.záver
Na záver zhrnieme, že hlavný rozdiel medzi určitým integrálnym a neurčitým je ich účelom. Určité integrály sa používajú na výpočet ohraničených parametrov, ako napríklad plocha, dĺžka alebo objem, a na neurčitý čas, keď sa vypočítavajú parametre, ktoré nemajú hranice, t. J. Funkcie.
Zaujímavé video na túto tému:
